الجبر الخطي له أهمية في الهندسة التحليلية ، التحويلات الخطية والفضاءات الخالية هي فرع من فروع الجبر الخطي، كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية، يبدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكتاتورية، ثنائية وثلاثية الأبعاد.
كما أن السمات المميزة للرياضيات المعاصرة، هي كونها تعنى بصورة أساسية بدراسة البنى الجبرية algebraic structures، ويمكن تعريف الجبر الخطي على أنه فرع من الرياضيات، حيث يهتم هذا الفرع بدراسة الفضاءات المتجهة، أَو دراسة الفضاءات الخطية والنظم الخطية.
الجبر الخطي Linear algebra.
وهو فرع من الرياضيات مهتم بدراسة الأشعة ، فضاء شعاعي،التحويلات الخطية والفضاءات الخالية، حيث تعتبر فراغات الأشعة موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الاستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي.
التحويل الخطي أو التطبيق الخطي Linear ma.
التحويل الخطي هو مصطلح يستخدم في الجبر الخطي، وهو يشير إلى خريطة المسافات بين ناقلات الطرفين، على نفس الهيئة التي لا يهم ما إذا كان يتم إضافة متجهين معا أولا، وبعد ذلك ترسيم المجموع بواسطة الدالة، أو موجهات الشيء نفسه ينطبق على الضرب من قبل العددية
المعادلات الخطية.
هي معادلات كل حد فيها هو عدد ثابت، العدد الثابت بالقوة الأولى لمتغير واحد فقط، كما أن المعادلات الخطية تحتوي على متغير واحد، أو تحتوي على أي عدد أخر من المتغيرات.
استعمالات المعادلات الخطية.
المعادلة الخطية (Linear equation) هي المعادلة المكونة من مساواة بين دالتين خطيتين، كما إن المعادلات الخطية لها الكثير من الاستعمالات شائعة، هذه الاستعمالات في الرياضة التطبيقية، كما أن لها أهمية كبيرة في العديد من الظواهر، حيث ظهرة أهمية المعادلات الخطية في الظواهر غير الخطية.
الصيغ المختلفة لمعادلة خطية بمجهولين.
الصيغة العامة:
Ax+By+C=0
- بحيثA و B ليسا كليهما صفر.
- هذه الصيغة هي أكثر صيغة عامة لوصف معادلة خطية.
- حيث تكون فيهاA قيمة موجبة.
- الرسم البياني لهذه المعادلة هو خط مستقيم، يمكن ترجمة كل خط مستقيم في المستوى إلى معادلة.
- إذا لم يكن A صفر، فيجب أن يكون هناك نقطة تقاطع الخط مه المحور x.
الصيغة المتبعة.
Ax+By=C
دوال ومؤثرات خطية
الفضاءات المتجهة أو التحويلات الخطية والفضاءات الخالية.
الفضاءات المتجهة vector space (الشعاعي) V على حقل F، ويدعوه بعضهم الفضاء الخطّي linear space، هو مجموعة غير خالية V مزودة بقانوني تشكيل، أحدهما داخلي والآخر خارجي، يحققان شروطاً معينة.
إن مفهوم الفضاءات المتجهة: هو حجر الأساس في بناء الجبر الخطي linear algebra. وإن كلمتي متجه (شعاع) ،و لكن العدد فيما يأتي يعني أي عنصر من عناصر الحقل F، وليس بالتحديد من حقل الأعداد الحقيقية R، و«المتجه» هو أي عنصر من عناصر الفضاء المتجهة V، وليس بالضرورة متجهاً بالمعنى الفيزيائي.
كما أن السمات المميزة الرياضيات المعاصرة، هي كونها تعنى بصورة أساسية بدراسة البنى الجبرية algebraic structures.
كما أن 29 –التحويلات الخطية والفضاءات الخالية، والبنية الجبرية هي مجموعة غير خالية و مزودة بعدد منته من العمليات الثنائية أي قوانين التشكيلlaws of composition .
ويرمز الجداء الديكارتي A. B إلى مجموعة كل الأزواج المرتبة (a,b) التي مسقطها الأول والثاني من A والثاني من B
أي إن:
- b = {(a, b) : a ε A, b ε B}}
بعض خواص الفضاء المتجهي
إذا كان V فضاء متجهي على حقل F فإن:
- v0 u = O
- (v-1) u = – u
- λ O = O
- -(λ u) = (-λ) u = λ (-u)
- -(λ) ( – u) = λ u
- λ u = Oيقضي λ = 0 أو u = O
- وذلك مهما تكن λ Î Fومهما يكن u Î V.
يعد علم الجبر الخطي من العلوم الأساسية، حيث أن هذا العلم حيث يهتم بدراسة الفضاءات المتجهة، أَو دراسة الفضاءات الخطية والنظم الخطية، وأيضا يدرس التحويلات الخطية والفضاءات الخالية.