ما هو حل جملة المعادلات الخطية (معادلتين بمجهولين وثلاث معادلات بثلاث مجاهيل)

ماذا يقصد بحل جملة المعادلات الخطية؟ يقصد بحل جملة المعادلات الخطية هو حل النظام المكون من معادلتين خطيتين تضم كل منهما متغيرين، وذلك عن طريق إيجاد قيم المتغيرين الذين يحققان كلتا المعادلتين، وإليكم طريقة حل جملة المعادلات الخطية (معادلتين بمجهولين وثلاث معادلات بثلاث مجاهيل).

صور حل المعادلتين الخطية

يوجد حل وحيد لنظام المعادلتين، وذلك بسبب أن هناك زوجا واحدا يحقق كلتا المعادلتين، وهو يمثل نقطة تقاطع الخطين عند رسم المعادلتين (س،ص)
لا يوجد حل للمعادلات، وذلك في حالة إذا كان الخطان اللذان يمثلان المعادلتين لا يلتقيان أبدا، و تمثلان المعادلتين هذه الحالة خطين متوازيين.
إذا كان الخطان اللذان يمثلان المعادلتين يقعان فوق بعضهما أي متطابقان، فهناك عدد لا نهائي من الحلول.

طريقة حل معادلتين من ثلاث مجاهيل

إذا كان x=y=2z

و xyz=256

أوجد قيمة x

الحل:

تعويض x في المعادلة بقيمتها التي هي y من المعادلة الأولى

تعويض z في المعادلة بقيمتها التي هي y/2 من المعادلة الثانية

وتستخدم الجذر المكعب لتحصل على قيمة y وهي قيمة x وأيضا ضعف قيمة z

x = 2z

y = 2z

xyz = 256

بتعويض قيم x و y

xyz = 256

2 z.2 z.z=256

4z³ = 256

z³ = 256/4

z³ = 64

z = ∛64

z = 4

x = y =8

مثال آخر

غرفة على شكل متوازي مستطيلات ، مجموع مثلي طولها ومثلي عرضها يزيد عن ارتفاعها بـ(5 م) ومجموع الطول والعرض ومثلي الارتفاع يساوي (20 م) ومجموع الطول والارتفاع يزيد عن العرض بمقدار (7 م).فما أبعاد الغرفة بالأمتار ؟

الحل:

هنا يجب ترجمة المسألة إلى معادلات يمكن حلها

نفرض أن الطول هو س م

نفرض أن العرض هو ص م

نفرض أن الارتفاع هو ع م

مثلي الطول تعني 2×س = 2س م

مثلي العرض تعني 2×ص = 2 ص م

إذن 2س +2ص = ع+5….(1)

2س +2ص –ع = 5 …..(1)

س+ص+2 ع = 20…….(2)

( س+ع = ص+7 ………(3

س-ص+ع =7 ………(3)

أصبح الآن لدينا نظام مكون من ثلاث معادلات خطية.

والآن نحول نظام المعادلات إلى نظام معادلات بمتغيرين ويتم ذلك بحذف أحد المتغيرات (ع) مثال على ذلك :

بجمع المعادلة الأولى والثالثة للتخلص من المتغير (ع)

2س+ 2ص-ع = 5

س-ص+ع= 7

بالجمع ينتج 3 س+ص = 12

والآن نبحث في حذف نفس المتغير من معادلتي (1) و (2) أو (2) و (3)

2س +2ص -ع = 5

س+ص+2ع = 2

والآن نريد التخلص من (ع) وذلك بضرب المعادلة الاولى في العدد (2) وجمعها مع المعادلة الثانية .

4س+4ص-2ع =10

س+ص+2ع = 20

5س+5ص =30